数学既不严峻，也不遥远，它既和所有的人类活动有关，又对每一个真正感兴趣的人有益。
R．C．Buck
数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。
J．N．Kapur
诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。
王国维
数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。
对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门科学的知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。今从以下几个方面来谈这个问题。
一、数学与美
中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天──大宇宙；地，自然界及其中一切动植物──中宇宙；人──最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。”
顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。
数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。”
为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道：
美就是真，
真就是美—这就是
你所知道的，
和你应该知道的。
法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。
那么，什么是美呢？美有两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。”
对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换公式，既是美，又是真。
数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。
为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。
二、数学是什么
给数学下定义是一个困难的问题。对任何事物下定义都遇到同样的困难。因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。
数学是数和形的学问。数学是一棵参天大树。它的根深深地扎在我们的现实世界。它有两个主干，一曰形─几何，一曰数─代数。
这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史；
这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝；
这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；
这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。见不到数学整体的宏伟和谐调。
我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。
几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；
代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。
记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。特别要注意到，这两者相辅相成。没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。”英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。
如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。这就产生了微积分。它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。
那么，什么是数学呢？19世纪恩格斯给数学下了这样的定义：
“数学是关于空间形式和数量关系的科学。”
恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新定义
数学是关于模式和秩序的科学。我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。通过数学建立模式可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。
模式和秩序的科学都是数学吗？物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。
物理学的基本元素：基本粒子。
生物学的基本元素：细胞。
数学呢？数，形，机会，算法与变化。
数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。
数学提供了有特色的思考方式：
抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：
符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。
公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。归纳与演绎并用。
最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。
建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题。
应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力。它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。
三、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：
解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。
线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。
高等代数：研究方程式的求根问题。
微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。
概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。
所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。
四、数学的特点
数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。
从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有
理数、无理数、复数、函数、微分、积分、
维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。
数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。
为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。以下几点应当受到注意：
1．将应试教育转为素养教育。要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应考。这对我们民族的长远利益是极关重要的。
2．中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；从常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。
3．向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准备。
4．计算机教育应尽早进行。计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。首先，建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞察力，理解力，以及数学直观。其次，离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。
科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教育议事日程上极其重要的问题。数学是科学和技术的基础。数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。
六、数学与人类文明
王国维在《人间词话》中说：
“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。”
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。所以还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。不站出来，就不知道数学的根在何处，不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么。不站出来，就看不到数学与别的学科的密切联系与相互影响。不站出来，就看不到数学对人类文明的巨大贡献。
整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们认为，整个人类文明可以分为三个鲜明的层次：
（1）以锄头为代表的农耕文明；
（2）以大机器流水线作业为代表的工业文明；
（3）以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力。其作用一次比一次明显。
数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量。它不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案。作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并取而代之，成为其思想和行动的指南。
这里，还需要指出，数学文化包含两个方面。一是作为人类文化子系统的数学，它自身的发生、发展的规律，以及它自身的结构；一是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。今天报告希望兼顾两个方面，但重点放在第二个方面。
我们必须认识到，数学对人类文化的影响有这样一些特点：由小到大，由弱到强，由少到多，由隐到显，由自然科学到社会科学。
简而言之，今天我们要唱一曲数学的赞歌，赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
1．古希腊的数学。古希腊人最了不起的贡献是，他们认识到，数学在人类文明中的基础作用。这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括：自然数是万物之母。
毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们对周围世界作了周密的观察，发现了数与几何图形的关系，数与音乐的和谐，他们还发现数与天体的运行都有密切关系。他们把整个学习过程分成四大部分：（1）数的绝对理论—算术；（2）静止的量—几何；（3）运动的量—天文；（4）数的应用—音乐。合起来称为四艺。
他们得到结论：自然数是万物之母。宇宙中的一切现象都以某种方式依赖于整数。但是当他们利用毕达哥拉斯定理发现
不能表示为两个整数的比，即，不是有理数时，受到了极大的震动。这就爆发了第一次数学危机。数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑，它的产生与克服都具有重要的意义。第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学，数学已由经验科学变为演绎科学。
中国，埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学，即算术的阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的”几何原本”与亚里士多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。
2．欧几里得的“几何原本”。欧几里得(Euclid，约公元前330－前275)的“几何原本”的出现是数学史上的一个伟大的里程碑。从它刚问世起就受到人们的高度重视。在西方世界除了“圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比。自1482年第一个印刷本出版以后，至今已有一千多种版本。在我国，明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷，于1607年出版。中译本书名为“几何原本”。徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大。
欧几里得的“几何原本”称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。它在数学上的主要贡献是什么呢？
（1）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。
（2）对命题作了公理化演绎。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。
（3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。
（4）演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在代数学中，使几何具有更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
我们还应当注意到，它的影响远远地超出了数学以外，而对整个人类文明都带来了巨大影响。它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神。人类的任何其它创造都不可能像欧几里德的几百条证明那样，显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来的。这些大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。受到这一成就的鼓舞，人们把理性运用于其它领域。神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里德的模式，来建立他们自己的理论。
此外欧氏几何的重要性还表现在它的美学价值。随着几何学美妙结构和精确推理的发展，数学变成了一门艺术。
3．希腊文化小结。古希腊的文化大约从公元前600年延续到公元前300年。古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论。他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象推理，激发人们对理想与美的追求。因此，这个时代产生了后世很难超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。那位断臂美人—米洛的维纳斯(公元前4世纪)是那个时代最好的代表，是至善至美象征。正是由于数学文化的发展，使得希腊社会具有现代社会的一切胚胎。
希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢？它留给后人四件宝。
第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。
第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透的人类知识的一切领域。
第三，它给出一个样板—欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。
第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。
但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人。这就宣布了一个光辉时代的结束。怀特海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征。务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人，领导了欧洲……罗马人是一个伟大的民族。但是受到了这样的批评：讲求实效，而无建树。他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的技术细节。他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制。”
此后是千余年的停滞。
4．欧几里得几何的影响。欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。这本书成为后人模仿的样板。我们来举几个典型的例子。
阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。
牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”。从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。他的《自然哲学的数学原理》具有欧几里得式的结构。
在马尔萨斯1789年的《人口论》中，我们可以找到另一个例子。马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型。他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品；人需要繁衍后代。他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。
令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学。美国的《独立宣言》是一个著名的例子。独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊(1743－1826)是这个宣言的主要起草人。他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。”我们认为这些真理是不证自明的…”不仅所有的直角都相等，而且”所有的人生来都平等”。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么”人民就有权更换或废除它”。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。”因此，……我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家。”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。
相对论的诞生是另一个光辉的例子。相对论的公理只有两条（1）相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；（2）光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。
关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步。第一步是发现公理，第二步是从公理推出结论。哪一步更难呢？他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练，那么他在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功”。至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法。爱因斯坦说：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理。”
5．选票分配问题。选票分配问题属于民主政治的范畴。选票分配是否合理是选民最关心的热点问题。这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究。那么，选票分配的基本原则是什么呢？首先是公平合理。要做到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配。但是会出现这样的问题：人数的比例常常不是整数。怎么办？一个简单的办法是四舍五入。四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。因为有这个缺点，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。
美国国会的议员是按州分配。假定美国的人口数是
，各州的人口数分别是
。再假定议员的总数是
。记
称它为第i个州分配的份额。汉密尔顿方法的具体操作如下：
(1)取各州份额
的整数部分
，让第i个州先拥有个议员。
(2)然后考虑各个的小数部分
，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。
汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况。人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论。汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益。其后，1890年，1900年人口普查后，缅因州和克罗拉多州也极力反对汉密尔顿方法。所以，从1880年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论。因此，必须改进汉密尔顿方法，使之更加合理。新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论。但是新的方法引出新的问题，新的问题又需要消除。于是更新的方法，当然是更加公正合理的方法又出现了。人们当然会问，有没有一种一劳永逸的解决办法呢？
这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家取研究。这里要特别提出的是，1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理—阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统这就是说，只有更合理，没有最合理。原来世上无”公”。阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。
阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，作为一名数学家，于1972年获得了诺贝尔经济奖。选举问题吸引经济学家的因素主要有两个方面：策略与公平性。而策略的研究又引出了博奕论。
6．伽利略的规划。历史上向前一步的进展，往往伴随着向后一步的推本溯源。欧洲在千余年的沉寂后，迎来了伟大的文艺复兴。这是一个需要巨人，而且也产生了巨人的时代。1564年，伽利略诞生了，不独有偶，同年莎士比亚也诞生了。文艺复兴运动为人们带来了希腊的理性精神。伽利略是第一个举起理性旗帜的科学家。他的工作成了现代科学的新起点。
近代科学成功的密诀在何处呢？在于科学活动选择了一个新目标。这个目标是伽利略提出的。希腊科学家曾致力于解释现象发生的原因，例如亚里士多德曾花费大量时间去解释为什么空中的物体会落到地上。伽利略第一个认识到关于事物原因与结果的玄想不能增进科学知识，无助于人们找出揭示和控制自然的办法。伽利略提出了一个科学规划。这个规划包含三个主要内容：
第一，找出物理现象的定量描述，即联系它们的数学公式；
第二，找出最基本的物理量，这些就是公式中的变量；
第三，在此基础上建立演绎科学。
规划的核心就是寻求描述自然现象的数学公式。在这个思想的指导下，伽利略找出了自由落体下落的公式，还找出了力学第一定律和第二定律。所有这些成果和其它成果，伽利略都总结在《关于两门新科学的方法和数学证明》一书中，此书耗费了他30多年的心血。在这部著作中，伽利略开创了物理科学数学化的进程，建立了力学科学，设计和树立了近代科学思维模式。．
现在方向已经指明，航道已经开通，科学将呈现一种加速发展的趋势。但是，要前进必须有新的数学工具。
7．解析几何。解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑。他的创始人是笛卡儿和费马。他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束，成为一种阻碍思想的技艺，而不是有益于发展思想的艺术。同时，他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理，而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。因此，把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来，可以取长补短。这样一来，一门新的科学诞生了。笛卡儿的理论以两个概念为基础：坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念。因此，解析几何是这样一个数学学科，它在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究几何对象。
解析几何的伟大意义表现在什么地方呢？
（1）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。
（2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。
（3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声。
（4）代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。它带来了认识新空间的需要。帮助人们从现实空间进入虚拟空间：从三维空间进入更高维的空间。
解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑方程
我们知道，它是一个圆。圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，
与
对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？
以及形如
的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从三维空间进入高维空间，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：
道通天地有形外，思入风云变态中。
（5）代数几何的发祥。高次曲线的研究成为可能。
8．微积分。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数和几何融为一体，并引出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础。恩格斯说：”数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”
推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼兹、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖。但也必须等待创立一个必不可少的工具—微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。
微积分是人类智力的伟大结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：”在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子走到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。
1642年1月8日，伽利略在宗教的迫害下，默默辞世。同年12月25日，一个孱弱的没有了父亲的早产儿诞生了，他就是牛顿。牛顿接过伽利略的事业继续前进。当初伽利略用数学化的语言描述自然界时，总是将运动限制在地球表面或附近。他的同时代人开卜勒得到了关于天体运动的三个数学定律。但是，科学的这两个分支似乎是独立的。找出它们之间的联系是对当时最伟大的科学家的挑战。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。这就是说，伽利略和牛顿建立的这些定律描述了从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含的范围内。这是人类认识史上的一次空前飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。
在伽利略规划的指导下，借助微积分的工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出了天文学的领域。人们把声音当作空气分子的运动而进行研究，获得了著名的数学定律。胡克研究了物体的振动。波意耳、马略特、伽利略托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压力和密度。范·海尔蒙特利用天平测量物质，迈出了近代化学中重要的一步。黑尔斯开始用定量的方法研究生理学。哈维利用定量的方法证明了，流出心脏的血液在回到心脏前将在全身周流。定量研究也推广到了植物学。所有这些仅仅是一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动的开端。
到18世纪中叶，伽利略和牛顿研究自然的定量方法的无限优越性，已经完全确立了。著名哲学家康德说，自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结合的程度，数学成为打开知识大门的金钥匙，成为科学的皇后。
数学与自然科学的联盟所显示出的惊人成果，使人们认识到：
（1）理性精神是获取真理的最高源泉；
（2）数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段；
（3）每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律。特别是哲学、宗教、政治经济、伦理和美学中的概念和结论都要重新定义，否则它们将与那个领域里的规律不相符合。
9．数学与绘画。在整个绘画史上，绘画的体系大致分为两大类：观念体系与光学体系。观念体系就是按照某种观念或原则去画画。例如，埃及的绘画和浮雕作品大都遵从观念体系。人物的大小不是依照写实的原则，而是依据人物的政治地位或宗教地位来决定。法老经常是最重要的人物，他的尺寸最大，他的妻子比他小一些，仆人就小得可怜了。光学透视体系则试图将图形本身在眼睛中的映像表达出来。它是从西方绘画艺术中发展起来的。早在希腊和罗马时期，光学体系已经有了发展。但是到了中世纪，基督教神秘主义的影响使艺术家们回到了观念体系。画家们所画的背景和主题倾向于表现宗教题材，目的在于引导宗教感情，而不是表现现实世界中的真人真事。从中世纪末到文艺复兴时期，绘画艺术发生了质的变化。其典型特征是，艺术家朝写实方向前进。在13世纪末，数学也进入了艺术领域。
到了13世纪的时候，通过翻译阿拉伯和希腊的著作，使亚里士多德的著作广泛为人们所知晓。西方的画家们开始意识到，中世纪的绘画是脱离现实和脱离生活的，这种倾向应当纠正。实际上，从中世纪转向文艺复兴，首先是人性的觉醒。在中世纪，艺术只是为了“训导人”成为一个好的信徒。到了文艺复兴时期，艺术则更多的是为了“丰富人”和“愉悦人”。
在中世纪严格的思想控制下，希腊、罗马艺术中美丽的维纳斯竞被看作是“异教的女妖”，而遭到毁弃。到了文艺复兴时期，向往古典文化的意大利人却觉得这个从海里生起来的女神是新时代的信使，她把美带到了人间。
文艺复兴时期的绘画与中世纪绘画的本质区别在于引入了第三维，也就是在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象。三维空间的画面只有通过光学透视体系的表达方法才能得到。这方面的成就是在14世纪初由杜乔(Duccio，1255－1319)和乔多(Giotto，1276－1336)取得的。在他们的作品中出现了几种方法，而这些方法成为一种数学体系发展过程中的一个重要阶段。
毫无疑问，达·芬奇是15至16世纪的一位艺术大师和科学巨匠。文艺复兴时期的传记作家瓦萨里曾这样赞美他：“上天有时候将美丽、优雅、才能赋予一人之身，他之所为无不超群绝寰，显示出他的天才来自上苍而非人间之力，达·芬奇正是如此。他的优雅与伟美无与伦比，他才智之高超使一切难题无不迎刃而解。”他通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学，为从事绘画作好了充分的准备。他对待透视学的态度可以在他的艺术哲学中看出来。他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”。
达·芬奇坚持认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确地再现。因此，绘画是一门科学，和其它科学一样，其基础是数学。他指出，“任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路。”
达·芬奇创作了许多精美的透视学作品。这位真正富有科学思想和绝伦技术的天才，对每幅作品他都进行过大量的精密研究。他最优秀的杰作都是透视学的最好典范。“最后的晚餐”描绘出了真情实感，一眼看去，与真实生活一样。观众似乎觉得达·芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在基督头上，从而使人们将注意力集中于基督。12个门徒分成3组，每组4人，对称地分布在基督的两边。基督本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于，表达基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态。附图中给出了原画及它的数学结构图。
10．从艺术中诞生的科学。数学对绘画艺术作出了贡献，绘画艺术也给了数学以丰厚的回报。画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。
在透视学的研究中产生的第一个思想是，人用手摸到的世界和用眼睛看到的世界并不是一回事。因而，相应地应该有两种几何，一种是触觉几何，一种是视觉几何。欧氏几何是触觉几何，它与我们的触觉一致，但与我们的视觉并不总一致。例如，欧几里得的平行线只有用手摸才存在，用眼睛看它并不存在。这样，欧氏几何就为视觉几何留下了广阔的研究领域。
现在讨论在透视学的研究中提出的第二个重要思想。画家们搞出来的聚焦透视体系，其基本思想是投影和截面取景原理。人眼被看作一个点，由此出发来观察景物。从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥。根据这一体系，画面本身必须含有投射锥的一个截景。从数学上看，这截景就是一张平面与投影锥相截的一部分截面。
设人眼在O处(图1)，今从O点观察平面上的一个矩形ABCD。从O到矩形的四个边上各点的连线形成一个投射棱锥，其中OA、OB、OC及OD是四根棱线。现在在人眼和矩形之间插入一平面，并在其上画出截景四边形
。由于截景对人眼产生的视觉印象与原矩形一样，所以人们自然要问：截景与原矩形有什么共同的性质？要知道截景与原矩形既不重合，也不相似，它们也没有相同的面积，甚至截景连矩形也不是。
把问题提得更一般一些：设有两个不同平面以任意角度与这个投射锥相截，得到两个不同的截景，那么，这两个截景有什么共同性质呢？
这个问题还可以进一步推广。设有矩形ABCD(图2)，今从两个不同的点O和O’来观察它。这时会出现两个不同的投射锥。在每个锥里各取一个截景，由于每个截景都应与原矩形有某些共同的几何性质，因此，这两个矩形间也应有某些共同的几何性质，
17世纪的数学家们开始寻找这些问题的答案。他们把所得到的方法和结果都看成欧氏几何的一部分。诚然，这些方法和结果大大丰富了欧几里得几何的内容，但其本身却是几何学的一个新的分支，到了19世纪，人们把几何学的这一分支叫作射影几何学。
射影几何集中表现了投影和截影的思想，论述了同一物体的相同射影或不同射影的截景所形成的几何图形的共同性质。这门”诞生于艺术的科学”，今天成了最美的数学分支之一。
11．新几何，新世界。众所周知，欧几里得几何以五条公设为基础，它们是
(1)连接任何两点可以作一直线段。
(2)一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线。
(3)以任意点为中心，通过任意给定的另一点可以作一圆。
(4)凡直角都相等。
(5)如果在同一平面内，任一直线与另两直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长必在这一侧相交。
(5)等价于“过一直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线。”
这些公设的真理性不证自明，没有一位”神智健全”的人胆敢对此表示怀疑。从如此坚实的基础出发，经过完美、严密的逻辑推理，产生出更多的定理，并为大家所接受。笛卡儿、牛顿的成功使这些定理的地位愈加巩固，在两千多年的应用中达到了光辉的顶点。人们毫不迟疑地得到这样的结论：欧氏几何是真理；真理就是欧氏几何。
但是，从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安，其中包括欧几里得本人。他们主要怀疑的是第五公设。因为只有第五公设涉及到无限，这是人们经验之外的东西。第五公设的研究在19世纪导致对数学发展极其重要的一些结果。19世纪上半叶，数学史上有两个很重要的转折，一个是1829年左右发现的双曲几何，一个是1843年发现的非交换代数。非欧几何的发现是人类思想史上的一个重大事件。著名数学家凯塞说，欧几里得的第五公设，“也许是科学史上最重要的一句话。”
非欧几何的发现过程，可以在有关的数学史的著作中查到，“数学的思想、方法和应用”一书中也有详细介绍，这里不再论述。
由于平行公设的不同而带来了欧氐几何与非欧几何的一些本质不同。都有哪些不同呢，我们稍作介绍。
例如，在罗巴切夫斯基的几何中三角形的内角和总小于180°。半径无限大的圆周的极限不是直线，而是一种曲线，叫作极限圆。通过不在一条非欧直线上的三点，并不总能作一个非欧圆，而能做的或者是非欧圆，或者是极限圆，或者是等距线(即与一条非欧直线等距离的点组成的线)。不存在面积任意大的非欧三角形。两个非欧三角形相似就全同。毕达哥拉斯定理不成立，等等。
在黎曼的几何中三角形的内角和总大于180°。两个三角形，面积较大者具有较大的内角和。一条直线的所有垂线相交于一点。两条直线围成一个封闭区域。
黎曼几何具有真实的意义吗？在这里答案是肯定的。如果将公理中的直线解释为球面上的大圆，黎曼几何的公理恰恰适用于球面上。球面上没有平行线，因为任何两个大圆都相交。事实上，它们不是相交一次，而是相交两次。另一个定理也容易推导出来：一条直线的所有垂线相交于一点。
我们指出，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到令人满意的解释和意义。换言之，自然界的几何或实用的几何，在一般经验意义上来说，就是黎曼几何。几千年来，这种几何一直就在我们的脚下。但是，连最伟大的数学家也没有想过通过检验球的几何性质来攻击平行线公理。我们生活在非欧平面上，却把它当成一个怪物，真是咄咄怪事！
非欧几何诞生的重要性与哥白尼的日心说，牛顿的引力定律，达尔文的进化论一样，对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响。遗憾的是，在一般思想史中没有受到应有的重视。它的重要影响是什么呢？
（1）非欧几何的创立使人们开始认识到，数学空间与物理空间之间有着本质的区别。但最初人认为这两者是相同的。这种区别对理解1880年以来的数学和科学的发展至关重要。
（2）非欧几何的创立扫荡了整个真理王国。在古代社会，像宗教一样，数学在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位。数学殿堂中汇集了所有真理，欧几里得是殿堂中最高的神父。但是通过鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工作，这种信仰彻底被摧毁了。非欧几何诞生之前，每个时代都坚信存在着绝对真理，数学就是一个典范。现在希望破灭了！欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结。
（3）真理性的丧失，解决了关于数学自身本质这一古老问题。数学是像高山、大海一样独立于人而存在，还是完全人的创造物呢？答案是，数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。
（4）非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这种研究具有一定的意义。
非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性。它使逻辑思维发展到了顶峰。为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧拚弃感觉经验的范例。
七、数学的新用场
1992年国际数学家联合会把2000年为世界数学年。其目的在于加强数学与社会的联系，使更多人了解数学的作用。
通常人们把数学分为纯粹数学与应用数学。纯粹数学研究数学本身提出的问题，如费马大定理，哥特巴赫猜想，几何三大难题等。这些问题与生活无关，不用于技术，不能改善人类的生活条件。应用数学却不同，它直接应用于技术。这种看法在二次世界大战前具有相当的普遍性。二次世界大战后，情况发生很大变化。
英国著名数学家哈代说，纯粹数学是一门“无害而清白”的职业，而数论和相对论则是这种清白学问的范例：”真正的数学对战争毫无影响，至今没有人能发现有什么火药味的东西是数论或相对论造成的，而且将来好多年也不会有人能够发现这类事情。”但1945年原子弹的蘑菇云使人们，也使哈代本人在生前看到了相对论不可能与战争有关的预言的可怕破产。他最钟爱的数论也已成为能控制成千上万颗核导弹的密码系统的理论基础。90年代的“海湾战争”甚至被称为数学战争了。
二次世界大战后，数学的面貌呈现四大变化：
（1）计算机的介入改变了数学研究的方法，大大扩展了数学研究的领域，加强了数学与社会多方面的联系。例如，四色问题的解决，数学实验的诞生，生物进化的模拟，股票市场的模拟等。
（2）数学直接介入社会，数学模型的作用越来越大。
（3）离散数学获得重大发展。人们可以在不懂微积分的情况下，对数学作出重大贡献。
（4）分形几何与混沌学的诞生是数学史上的重大事件。
现在我们具体谈谈数学在各个领域里的新贡献。
1．对化学。大约在1950年，一个名叫H．Hauptman的数学家对晶体的结构这个迷产生了兴趣。从本世纪初化学家就知道，当X－射线穿过晶体时，光线碰到晶体中的原子而发生散射或衍射。当他们把胶卷置于晶体之后，X－射线会使随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑。化学家的迷惑是，他们不能准确地确定晶体中原子的位置。这是因为X－射线也可以看作是波，它们有振幅和相位。这个衍射图只能探清X－射线的振幅，但不能探测相位。化学家们对此困惑了40多年。H．Hauptman认识到，这件事能形成一个纯粹的数学问题，并有一个优美的解。
他借助傅氏分析找出了决定相位的办法，并进一步确定了晶体的几何。结晶学家只见过物理现象的影子，H．Hauptman却利用100年前的古典数学从影子来再现实际的现象。前几年在一次谈话中，他回忆说，1950年以前，人们认为他的工作是荒谬的，并把他看成一个大傻瓜。事实上，他一生只上过一门化学课—大学一年级的化学。但是，由于他用古典数学解决了一个难倒现代化学家的迷，而在1985年获得了诺贝尔化学奖。
2．生物学。数学在生物学中的应用使生物学从经验科学上升为理论科学，由定性科学转变为定量科学。它们的结合与相互促进必将产生许多奇妙的结果。
数学在生物学中的应用可以追溯到11世纪。我国科学家沈括已观察到出生性别大致相等的规律，并立出“育胎之理”的数学模型。1866年奥地利人孟德尔通过植物杂交实验提出了“遗传因子”的概念，并发现了生物遗传的分离定律和自由组合定律。但这些都是简单的，个别而不普遍。1899年英人皮尔逊创办《生物统计学》是数学大量进入生物学的序曲。哈代和费希尔在20世纪20年代创立了《群体遗传学》，成为生命科学中最活跃的定量分析方法和工具。意大利数学家沃尔泰拉在第一世界大战后不久创立了生物动力学。而这几位都是当时的一流数学家。
数学对生物学最有影响的分支是生命科学。目前拓扑学和形态发生学，纽结理论和DNA重组机理受到很大重视。美国数学家琼斯在纽结理论方面的工作使他获得1990年的菲尔兹奖。生物学家很快地把这项成果用到了DNA上，对弄清DNA结构产生重大影响。《Science》发表文章“数学打开了双螺旋的疑结”
其次是生理学。人们已建立了心脏、肾、胰腺、耳朵等许多器官的计算模型。此外，生命系统在不同层次上呈现出无序与有序的复杂行为，如何描述它们的运作体制对数学和生物学都构成挑战。
第三是脑科学。目前网络学的研究对神经网络极关重要。
为了让数学发挥作用，最重要的是对现有生物学研究方法进行改革。如果生物学仍满足于从某一实验中得出一个很局限的结论，那么生物学就变成生命现象的记录，失去了理性的光辉，更无法去揭开自然之谜。
3．体育运动。用现代数学方法研究体育运动是从本世纪七十年代开始的。1973年，美国的应用数学家J．B．开勒发表了赛跑的理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得了很好的成绩。几乎同时，美国的计算专家艾斯特运用数学、力学，并藉助计算机研究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术，从而提出了他自己的研究理论，据此提出了改正投掷技术的训练措施，从而使这位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。这些例子说明，数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用。所用到的数学内容也相当深入。主要的研究方面有：赛跑理论，投掷技术，台球的击球方向，跳高的起跳点，足球场上的射门与守门，比赛程序的安排，博奕论与决策。
举个例子。1982年11月在印度举行的亚运会上，曾经创造男子跳高世界纪录的我国著名跳高选手朱建华已经跳过2米33的高度，稳获冠军。他开始向2米37的高度进军。只见他几个碎步，快速助跑，有力的弹跳，身体腾空而起，他的头部越过了横杆，上身越过了横杆，臀部、大腿、甚至小腿都越过了横杆。，可惜，脚跟擦到了横杆，横杆摇晃了几下，掉了下来！问题出在哪里？出在起跳点上。那么如何选取起跳点呢？可以建立一个数学模型。其中涉及到，起跳速度，助跑曲线与横杆的夹角，身体重心的运动方向与地面的夹角等诸多因素。
4．数学与经济学的联姻。经济学在社会科学中占有举足轻重的地位。一方面是它与人的生活密切相关。它探讨的是资源如何在人群中进行有效分配的问题。另一方面，是因为经济学理论的清晰性、严密性和完整性使它成为社会科学中最”科学”的学科，而这要归功于数学。数学介入经济学使得经济学发生了深刻而巨大的变革。目前看来至少推动了几门新的经济学分支学科的诞生和发展。其中有数理经济学，计量经济学等。从1969到1990共有27位经济学家获得诺贝尔奖。其中有14位是因为提出和应用数学方法于经济分析中才获此殊荣，其他人也部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没有。
5．数理语言学。在传统分类中语言学属人文科学。但由于它的研究对象的特殊性，近年来它越来越向自然科学靠拢。因为它是一个内部规则严整的系统，所以应用数学便是自然的了。用数学方法研究语言现象，给语言以定量化与形式化的描述称为数理语言学。它既研究自然语言，也研究人工语言，例如计算机语言。数理语言学包含三个主要分支：统计语言学；代数语言学；算法语言学。统计语言学用统计方法处理语言资料，衡量各种语言的相关程度，比较作者的文体风格，确定不同时期的语言发展特征，等等。代数语言学是借助数学和逻辑方法提出精确的数学模型，并把语言改造为现代科学的演绎系统，以便适用于计算机处理。算法语言学是借助图论的方法研究语言的各种层次，挖掘语言的潜在本质解决语言学中的难题。
6．文学作品鉴真。《红楼梦》研究是一个很好的例子。1980年6月在美国威斯康星大学召开的首届国际《红楼梦》研讨会上，华裔学者陈炳藻宣读了论文”从词汇统计论《红楼梦》的作者问题”。此后他又发表了多篇用电脑研究文学的论文。数学物理中的谱分析与快速傅立叶变换密切相关。令人吃惊的是，这一方法已被成功地应用于文学研究。文学作品的微量元素，即文学的”指纹”，就是文章的句型风格，其判断的主要方法是频谱分析。日本有两位作者多久正和安本美典大量应用频谱分析来研究各种文学作品，最后达到这样的程度，随便拿一篇文字来，不讲明作者，也可以知道作者是谁，就像法医根据指纹抓犯人一样，准确无误。
7．史学研究。数学方法的应用为历史研究开辟了许多过去不为人重视，或不曾很好利用的历史资料的新领域，并且极大地影响着历史学家运用文献资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方向，内容和着眼点。另外，数学方法正在影响历史学家观察问题的角度和思考问题的方式，从而有可能解决使用习惯的，传统的历史研究方法所无法解决的某些难题。数学方法的应用使历史学趋于严谨和精确，而且对研究结果的检验也有重要意义。
8．对自然界。大家都听到过蝉鸣，或知了叫。不管有多少蝉或知了，也不管有多少树，它们的鸣声总是一致的。这是什么原因呢？谁在指挥它们？自然界最壮观的景象之一发生在东南亚。在那里，一大批萤火虫同步闪光。1935年，在”科学”杂志上发表了一篇题为”萤火虫的同步闪光”的论文。在这篇论文中，美国生物学家史密斯对这一现象作了生动的描述：
“想象一下，一棵10米至12米高的树，每一片树叶上都有一个萤火虫，所有的萤火虫大约都以每2秒3次的频率同步闪光，这棵树在两次闪光之间漆黑一片。想象一下，在160米的河岸两旁是不间断的芒果树，每一片树叶上的萤火虫，以及树列两端之间所有树上的萤火虫完全一致同步闪光。那么，如果一个人的想象力足够生动的话，他会对这一惊人奇观形成某种概念。”
这种闪光为什么会同步？1990年，米洛罗和施特盖茨借助数学模型给了一个解释。在这种模型中，每个萤火虫都和其他萤火虫相互作用。建模的主要思想是，把诸多昆虫模拟成一群彼此靠视觉信号耦合的振荡器。每个萤火虫用来产生闪光的化学循环被表示成一个振荡器，萤火虫整体则表示成此种振荡器的网络—每个振荡器以完全相同的方式影响其他振荡器。这些振荡器是脉冲式耦合，即，振荡器仅在产生闪光一瞬间对邻近振荡器施加影响。米洛罗和施特盖茨证明了，不管初始条件如何，所有振荡器最终都会变得同步。这个证明的基础是吸附概念。吸附使两个不同的振荡器“互锁”，并保持同相。由于耦合完全对称，一旦一群振荡器互锁，就不能解锁。
最后，需要指出，数学与人类文明的联系与应用是多方面、多层次的。我们的报告只涉及其中的一部分。数学与哲学、文学、建筑、音乐也都有深刻的联系，这里不及叙述。计算机诞生后，数学与其它文化的联系更加深入和广泛。可以毫无愧言地说，信息时代就是数学时代。联合国科教文组织在1992年发表了〖里约热内卢宣言〗，将2000年定为数学年，并指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”未来不管你将从事自然科学还是社会科学，请记住这句话。并用你的胆力、智慧和勤奋把人类文明推向新的高峰。